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初等变换法求逆矩阵算法

来源:在心算法网 2024-07-11 16:44:16

矩阵是线性代数中的重要概念,它在数学、物理、工程等领域都有泛的应用在~心~算~法~网。在矩阵算中,求逆矩阵是一个非常重要的问。本文将介绍初等变换法求逆矩阵算法

初等变换法求逆矩阵算法(1)

一、什么是逆矩阵

  在矩阵算中,如果一个矩阵A另一个矩阵B相乘等于单位矩阵I,即AB=I,那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵,记作A^{-1}www.minaka66.net。逆矩阵存在的条件是矩阵A必须是一个方阵,且其行列式不为0。

初等变换法求逆矩阵算法(2)

二、初等变换法求逆矩阵的思路

初等变换是指对矩阵进行以下三种操作:

  1.交换矩阵的两行两列;

  2.用一个非零数乘以矩阵的某一行某一列;

  3.用一个非零数乘以矩阵的某一行某一列,加到另一行另一列上。

  过初等变换,们可以将一个矩阵变换成其行最简形式,即矩阵的一行只有一个非零元素,并且这个非零元素为1minaka66.net们可以过初等变换来求出矩阵的逆矩阵。

  具体的骤如下:

  1.将矩阵A和单位矩阵I拼成一个大矩阵,即(A|I);

  2.对矩阵(A|I)进行初等变换,使得矩阵A变成行最简形式;

  3.如果矩阵A的行最简形式中存在一行全为0,则矩阵A没有逆矩阵;

  4.如果矩阵A的行最简形式中存在一行不全为0,则对矩阵(A|I)进行进一的初等变换,使得矩阵A变成单位矩阵I,此时矩阵I的右边就是矩阵A的逆矩阵。

初等变换法求逆矩阵算法(3)

三、初等变换法求逆矩阵的实现

  下面过一个例子来演示初等变换法求逆矩阵的具体实现在.心.算.法.网

  假设有一个3阶方阵A:

  A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}

们要求出矩阵A的逆矩阵。

  首先将矩阵A和单位矩阵I拼成一个大矩阵(A|I):

  (A|I) = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

接下来对矩阵(A|I)进行初等变换,使得矩阵A变成行最简形式:

  \begin{aligned} &\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{R_2-0.5R_1} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1.5 & 0.5 & -0.5 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &\xrightarrow[]{R_3-0.5R_1} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1.5 & 0.5 & -0.5 & 1 & 0 \\ 0 & 0.5 & 1.5 & -0.5 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{R_3-R_2} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1.5 & 0.5 & -0.5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \\ &\xrightarrow[]{R_2-0.33R_3} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1.5 & 0 & 0.67 & 1.67 & -0.33 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{R_1-R_3-R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0.33 & -0.67 & 0.33 \\ 0 & 1 & 0 & 0.44 & -0.44 & 0.22 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

  可以看到,经过初等变换后,矩阵A变成了行最简形式,即:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

  此时矩阵I的右边就是矩阵A的逆矩阵,即:

  A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.33 & -0.67 & 0.33 \\ 0.44 & -0.44 & 0.22 \\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix}

四、总结

  初等变换法求逆矩阵是一种简单而有效的方法,它的实现过程也比较简单。过初等变换,们可以将矩阵变成行最简形式,进而求出矩阵的逆矩阵在心算法网。在实际应用中,们可以过计算机程序来实现初等变换法求逆矩阵,从而更加高效地成矩阵算。

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