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简便算法之裂项法

来源:在心算法网 2024-07-11 01:29:42

  在数学中,裂项法是一种将一无限级数分解为两级数之和的技巧在_心_算_法_网。裂项法的应用范围广泛,可以用于求解各种级数的和,包括调和级数、幂级数、指数级数等等。其中,裂项法的一种特殊形式——裂项相消法,更是在数学竞赛中被广泛应用。

  裂项法的核心思想是将级数中的每一项分成两部分,然后将这些部分分别求和,终得到原级数的和QMy。裂项法的具体实现方法因级数的特点而异,但其本思路是一致的。

  下们将介绍裂项法的一种特殊形式——裂项相消法。这种方法的应用范围较窄,但是在数学竞赛中却极为实用来自www.minaka66.net

裂项相消法的核心思想是通过两级数之间的相消来求解原级数的和。具体来说,们将原级数中的每一项分成两部分,其中一部分与第一级数相加,部分与第二级数相加。通过调整这两级数的系数,使得它们之间的相消可以消去原级数中的一些项,从而得到原级数的和www.minaka66.net

们来看一例子。假设们要求解级数:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$

简便算法之裂项法(1)

首先,们将每一项分成两部分:

  $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+1)(n+2)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

简便算法之裂项法(2)

接下来,们定义两级数:

  $$S_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+1)(n+2)}$$

  $$S_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

这两级数之间的相消可以通过调整它们之间的系数来实现。具体来说,们可以将$S_1$中的第$n$项与$S_2$中的第$(n+1)$项相消,得到:

  $$S_1 - S_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

  $$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$

$$= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$

因此,原级数的和可以示为:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = 2(S_1 - S_2)$$

  接下来,们分别求解$S_1$和$S_2$QMy。首先,们来求解$S_1$:

  $$S_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+1)(n+2)}$$

  $$= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$$

  $$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \right)$$

简便算法之裂项法(3)

$$= \frac{1}{4}$$

接下来,们来求解$S_2$:

$$S_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

$$= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$$

  $$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \right)$$

$$= \frac{1}{4}$$

因此,原级数的和为:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = 2(S_1 - S_2) = \frac{1}{2}$$

  通过裂项相消法,们成功地求解了这级数的和。裂项相消法虽然不是一种通用的方法,但是在一些特殊情况下,它可以大大简化级数求和的过,提高计算率。

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